ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC 3

(Trung tâm Luyện thi đại học Vĩnh Viễn)

Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a ( 0 có đồ thị là (C). y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b
1) y” = 0 ( x = (a ( 0 )
x = là hoành độ điểm uốn. Đồ thị hàm bậc 3 nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

2) Để vẽ đồ thị 1 hàm số bậc 3, ta cần biết các trường hợp sau :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ( hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ( hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
( hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (((, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +()
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
( hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (((, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +()
+ hàm số tăng trên (x1, x2)

3) Giả sử y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k là hằng số khác 0;
thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị là y = r x + q

4) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt
(

5) Giả sử a > 0 ta có :
i) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt > (
(
ii) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt < (
(
Tương tự khi a < 0 .
6) Tiếp tuyến : Gọi I là điểm uốn. Cho M ( (C).
Nếu M ( I thì ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Nếu M khác I thì ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.
Biện luận số tiếp tuyến qua 1 điểm N không nằm trên (C) ta có nhiều trường hợp hơn.

7) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau ( y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y(x0) = 0 (x0 là hoành độ điểm uốn)

8) Biện luận số nghiệm của phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1) (a ( 0) khi x = ( là 1 nghiệm của (1).
Nếu x = ( là 1 nghiệm của (1), ta có
ax3 + bx2 + cx + d = (x - ()(ax2 + b1x + c1)
nghiệm của (1) là x = ( với nghiệm của phương trình ax2 + b1x + c1 = 0 (2). Ta có các trường hợp sau:
i) nếu (2) vô nghiệm thì (1) có duy nhất nghiệm x = (
ii) nếu (2) có nghiệm kép x = ( thì (1) có duy nhất nghiệm x = (
iii) nếu (2) có 2 nghiệm phân biệt ( ( thì (1) có 3 nghiệm phân biệt
iv) nếu (2) có 1 nghiệm x = ( và 1 nghiệm khác ( thì (1) có 2 nghiệm.
v) nếu (2) có nghiệm kép ( ( thì (1) có 2 nghiệm
BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC 3
Cho họ đường cong bậc ba (Cm) và họ đường thẳng (Dk) lần lượt có phương trình là
y = (x3 + mx2 ( m và y = kx + k + 1.
(I) PHẦN I. Trong phần này cho m = 3. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
1) Gọi A và B là 2 điểm cực đại và cực tiểu của (C) và M là điểm bất kỳ trên cung AB với M khác A , Bø . Chứng minh rằng trên (C) ta tìm được hai điểm tại đó có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại M với (C).
2)